Deducción matemática de la presión y temperatura (mediante la TCM)

Como ya se había explicado anteriormente en la introducción a la Teoría cinética de la materia, un gas presenta ciertas propiedades, que en resumen serìa que las direcciones y las magnitudes de las velocidades de las moléculas estan distribuidas al azar,

Al hablar de las velocidades de las moléculas se miden respecto del centro de masas del sistema gaseoso, por lo tanto, la presión y la temperatura del gas no se cambian si el recipiente que los contiene se encuentra en movimiento

Presión

"Si suponemos que las velocidades en el sentido positivo del eje X (o del eje Y o Z) son igualmente probables que en el sentido negativo, las velocidades medias a lo largo de los ejes son cero, es decir.

<v_x>=<v_y>=<v_z>=0.

Por otra parte, se cumplirá que las velocidades a lo largo del eje X no estarán relacionadas con las velocidades a lo largo del eje Y o Z, por tanto,

<v²_x>=<v²_y>=<v²_z>.

Como el cuadrado del módulo de la velocidad es v²= v²_x +v²_y +v²_z resulta que < v²>=3< v²_x> ..."                                     

 Presión que ejerce el gas

Supongamos que el gas está encerrado en un recipiente, tal como se muestra en la figura. El recipiente dispone de un émbolo móvil de área A. Para mantener fijo el émbolo es necesario ejercer una fuerza F, normalmente a la superficie del émbolo. El valor de la fuerza F es igual al producto de la presión ejercida por el gas por el área del émbolo.

<----F

                                                Esto es: F=PA

Las moléculas del gas chocan elásticamente con el émbolo, de modo que la componente X de la velocidad cambia de sentido. Por tanto, el cambio en el momento lineal de cada molécula es:

Dp=2mv_x

                                                             

Si el número total de moléculas que chocan con el émbolo en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+Dt es N_x, la variación de momento lineal será 2mv_xN_x.

Podemos calcular N_x considerando que solamente la mitad de las moléculas, en promedio, tienen el sentido de la velocidad hacia la parte positiva del eje X, es decir, se dirigen hacia el émbolo.

Si suponemos que las moléculas que chocan con el émbolo tienen el mismo valor de la componente X de la velocidad, cruzarán el área A en el tiempo Dt todas las partículas contenidas en el volumen Av_xDt. Si n es el número de partículas por unidad de volumen N_x valdrá entonces, nAv_xDt/2.

                                                              

La variación de momento lineal Dp en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+Dt es mv_x nAv_xDt.

La fuerza sobre el émbolo es el cociente entre el cambio de momento lineal y el tiempo que tarda en efectuarse dicho cambio.

                                                            

y por tanto, la presión ejercida por el gas vale:

P=n(mv²_x)

Todas las moléculas no tienen el mismo valor v_x de la velocidad, sino que la distribución de velocidades es tal que su valor medio cuadrático es <v²_x>. Por tanto, en la expresión de la presión P, hemos de sustituir v²_x por <v²_x>.

                                                             {1}

ya que <v²_x>=<v²>/3

El término final que está en la fórmula es: Valor medio de la Ec

Temperatura

Se define en termodinámica como una variable que se mide por los cambios observados en las propiedades macroscópicas de la materia cuando cambia de Tº

• La ecuación de estado de un gas ideal relaciona: Propiedades macroscópicas (Presión, volumen y temperatura) -PV=mRT -  m = No. de moles.

• El número n de moléculas por unidad de volumen se obtiene dividiendo el número total de moléculas N entre el volumen del recipiente V.

donde N₀ el número de Avogadro

Introduciendo n en la expresión de la presión del gas {1}, obtenemos:

                                                             {2}

• Comparando esta ecuación con la de estado de un gas ideal, se llega a la definición cinética de temperatura                                              

• El cociente entre las dos constantes R y N₀ es otra constante que designamos por k, la constante de Boltzmann.

                                                  

La temperatura absoluta definida, por ejemplo, para un termómetro de gas ideal es una medida directa de la energía media de traslación de las moléculas del gas.

                                                                         {3}                   

"La Tº puede medirse en unidades de energía y el hecho que se mida en ºC se debe a la definición tradicional de temperatura: Es una magnitud física que refleja la cantidad de calor, ya sea de un cuerpo , de un objeto o del ambiente. Esta magnitud està vinculada a la noción de frio  (menor ºT) y caliente (mayor ºT)"

Otra forma útil de la ecuación de los gases perfectos que se deriva de {2} y {3} es

P·V=N·k·T

N= No. de moléculas contenidas en el recipiente de volumen (V)

Las moléculas de un gas ideal sólo tienen energía cinética se ignora la energía potencial de interacción. La Energía interna (U) de un gas ideal es N veces la Ec media de 1 molécula

                                                          

                Fuente: 

• Teoría Cinética de los Gases
• Temperatura  
• Deduccion de la TCM